锐角三角形性质（什么是锐角三角形）

设⊿ABC的外接圆为G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a b c)/2．

性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；

（3）钝角三角形的外心在三角形外.

（4）等边三角形外心与内心为同一点。

性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A)）.

性质3：∠GAC ∠B=90°

证明：如图所示延长AG与圆角与P（B、C下面的那个点）

∵A、C、B、P四点共圆

∴∠P=∠B

∵∠P ∠GAC=90°

∴∠GAC ∠B=90°

性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

（1）向量PG=(tanB tanC)向量PA (tanC tanA)向量PB (tanA tanB)向量PC)/2(tanA tanB tanC).

或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA (cosB/2sinCsinA)向量PB (cosC/2sinAsinB)向量PC.

性质5：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。

性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件　(向量GA 向量GB)·向量AB= (向量GB 向量GC)·向量BC=(向量GC 向量GA)·向量CA=0.

以及如下充要条件成立：

三角形外接圆半径：

R=abc/（4S△ABC）

对于任意三角形，其面积 S=(1/2)*ab*sinC (1)

由正弦定理，得：a/sinA=b/sinB =c/sinC=2R

将 sinC=c/2R 代入公式（1）：

S=abc/(4R)

R=abc/（4S△ABC）